SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 12.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề).

Câu I. (5,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1)
Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Câu II. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
(x, y ( R)
Giải phương trình:
. (x ( R)
Câu III.(2,0 điểm)
Cho phương trình:
(với m là tham số) (2)
Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu IV. (2,0 điểm)
Tính tích phân:
.
Câu V. (4,0 điểm)
Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng (1: x + y – 3 = 0 và đường thẳng (2: x + y – 9 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc (1 và điểm C thuộc (2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu VII. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……………………………………….SBD:……………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn thi: Toán, lớp 12.
(Hướng dẫn có 4 trang)


Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.

Câu
Phương pháp - Kết quả
Điểm

I.1
(2điểm)
1. Ta có y’ = 3x2 + 6x + m
0,5


Ycbt tương đương với phương trình 3x2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
0,5


(

0,5


Giải hệ trên ta được m = -105
0,5

I.2
(2điểm)
2.+) Hoành độ điểm chung của (C) và d là nghiệm của phương trình
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ( x(x2 + 3x + m) = 0
0,5


Từ đó tìm được m <
và m ( 0 thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C.
0,5


+) B(x1; 1), C(x2; 1) với x1; x2 là nghiệm của phương trình
x2 + 3x + m = 0 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3x12 + 6x1 + m
và tại C là k2 = 3x22 + 6x2 + m
0,5


Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi
k1.k2 = -1
0,5


( 4m2 – 9m + 1 = 0
0,5


 (

0,5

 II.1
(2điểm)
1. Điều kiện x, y ≥ 0
0,5


Xét y = 0, không thỏa mãn hpt
+) y ( 0, đặt
, t ≥ 0. Hệ phương trình trở thành