ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn thi : TOÁN


(2,5 điểm).
Cho hàm số (C) :

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M ( (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) :


(1,5 điểm)
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:



(1,5 điểm)
Giải phương trình:
.
Giải bất phương trình:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.

(2 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C ( (P) sao cho (ABC là tam giác đều.
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.

(2,5 điểm).
Tính :

Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:


3. Cho z =
, Hãy tính :

(Hết)

HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu
Ý
Nội dung
Điểm

I


2.5


b
Tìm M ( (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
0,75




Với

0.25



TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
Dấu "=" xảy ra
0.5



Gọi M(2; m) ( d1: x = 2. Khi đó đt d ( M
( d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với
(C’) ( hệ:
có nghiệm
0,25



( 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
Xét hàm số y = 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m
( y’ = 6(x-2)2 ( 0 (x ( Hàm luôn đồng biến ( Pt (1) luôn có nghiệm duy nhất ( từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’).

0,5


II


1,5


1
Giải phương trình:
0,75





0.25







0.25





Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x =
và x = 2
0.25


2
Giải hệ phương trình:
0,75





0.25





0.25



Thử lại thấy đúng nên:

là nghiệm của hệ phương trình.
0.25

III


1,5


1
Giải phương trình: .
0,5






Điều kiện:
.
Khi đó Pt

0.25




.
Kết hợp với điều kiện ta được:
(Với k ∊ N*).
0.25


2
Giải bất phương trình:
0,5






Đặt

0.25





0.25


3

0,5



. Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả
tập con gồm 5 chữ số khác nhau.
0,25



Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả
= 252 số.
0,25

IV


2.0


1
Xác định tọa độ điểm C ( (P) sao cho (ABC đều
1.0



Để (ABC là tam giác đều ( đường cao MC = AB

Gọi M là trung